## Ziel der Simulation
Im Rahmen des Schulunterrichts ist es relativ einfach möglich, die analytische Lösung der stationären Schrödingergleichung für den unendlich hohen, eindimensionalen Potenzialtopf zu finden. Der Aufwand zum Lösen für andere Potenzialverläufe (z.B. endlich hoher Potenzialtopf, harmonisches Potenzial oder Coulombpotenzial) ist deutlich höher, weshalb es sich anbietet, alternativ numerische Lösungen zur Veranschaulichung zu nutzen.
Die vorliegende App ermöglicht die grafische Suche nach den Eigenwerten für gebundene Zustände. Besondere Bedeutung kommt dabei den Randbedingungen zu, d.h. in der Regel der Tatsache, dass ``lim_(x -> +- oo)psi(x)=0`` gilt.
Neben frei einstellbaren Potenzialen für ein Elektron enthält die App konkrete Beispiele aus Natur und Technik, z.B. Farbstoffmoleküle, Molekülschwingungen, Atome und Atomkerne. So lässt sich zeigen, dass dieselben Potenzialformen in ganz unterschiedlichen Größenordnungen auftreten – vom Molekül (Ångström, Elektronvolt) bis zum Atomkern (Femtometer, Megaelektronvolt).
## Hinweise zur Verwendung
**Allgemeine Hinweise:**
- Im ersten Schritt wählst du einen der vorgegebenen Potenzialverläufe aus der Liste. Bei einigen Potenzialverläufen kannst du zusätzlich einen Untertyp wählen: entweder einen variablen Potenzialtopf mit einstellbaren Parametern oder ein konkretes physikalisches System.
- Die Beschreibung erläutert das gewählte System. Bei konkreten Systemen findest du darunter einen Link auf die Quelle der verwendeten Werte.
- Achte auf die Einheiten der Achsen: Sie hängen vom gewählten System ab (z.B. ``unit(Å)`` und ``unit(eV)`` bei Elektronen und Molekülen, ``unit(fm)`` und ``unit(MeV)`` bei Atomkernen und Teilchen).
- Anschließend kannst du mit der Suche nach den Eigenwerten beginnen, indem du die Energie langsam variierst.
- Eigenwerte ergeben sich, wenn die Wellenfunktion für ``x -> oo`` gegen 0 geht (die Simulation erfüllt automatisch die andere Randbedingung für ``x -> -oo``).
- Eigenwerte können in der Simulation festgehalten werden, indem mittels der Schaltfläche „Zustand Speichern“ ein „Foto“ erstellt wird.
**Spezielle Hinweise zu den Molekülschwingungen (harmonisches Potenzial):**
- ``x`` beschreibt hier nicht den Ort eines Teilchens, sondern die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage, z.B. die Änderung des Abstands der beiden Atomkerne.
- Da sich mehrere Atome bewegen, wird statt einer einzelnen Masse die reduzierte Masse ``mu = (1 / m_1 + 1 / m_2 + ...)^(-1)`` verwendet.
- Bei der Biegeschwingung des CO~2~-Moleküls ist ``x`` ein Winkel (im Bogenmaß). An die Stelle der Masse tritt hier ein effektives Trägheitsmoment.
- Vergleiche die Abstände der Energieniveaus mit den Absorptionslinien im Infrarotspektrum. Beachte dabei, dass nicht jede Schwingung im Infrarotspektrum sichtbar ist.
**Spezielle Hinweise zu den kugelsymmetrischen Potenzialen (Wasserstoffatom, Positronium und Deuteron):**
- Hier wird nur der Radialanteil ``psi(r)=r*R(r)`` der dreidimensionalen Wellenfunktion für Zustände ohne Drehimpuls (``l=0``) dargestellt.
- Daher gilt am Ursprung die Randbedingung ``psi(0)=0``, die von der Simulation automatisch erfüllt wird.
- Eigenwerte ergeben sich hier analog, falls für ``r -> oo`` die Wellenfunktion gegen 0 geht.
- Vergrößere ``r_"max"``, wenn du höhere Zustände analysieren möchtest.
## Implementierung
Die numerische Simulation der Schrödingergleichung erfolgt mittels des Numerov-Verfahrens^1^, das speziell für diese Anwendung von Matthias Kemper^2^ beschrieben ist. Die Simulation verläuft nur in eine Richtung, d.h. vom niedrigsten zum höchsten möglichen Wert von ``x``. Der Startwert wird mittels der WKB-Methode^3^ im klassisch verbotenen Bereich bestimmt, so dass automatisch die Randbedingung für ``x -> -oo`` erfüllt ist. Bei den kugelsymmetrischen Potenzialen startet die Simulation stattdessen mit ``psi(0)=0``.
Intern rechnet die Simulation in SI-Einheiten. Jedes Potenzial legt fest, in welchen Einheiten Ort und Energie angezeigt werden.
## Quellen
1. [Wikipedia, Numerow-Verfahren](https://de.wikipedia.org/wiki/Numerow-Verfahren)
2. [Kemper, Matthias: „Numerische Verfahren zur Lösung der stationären Schrödingergleichung“, Münster 2012](https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/archive/fileadmin/Arbeiten/kemper-BA.pdf)
3. [Wikipedia, WKB-Näherung](https://de.wikipedia.org/wiki/WKB-N%C3%A4herung)
Der endlich hohe Potenzialtopf, Lehrplan PLUS Bayern: Die Schüler/-innen ermitteln die Eigenenergien in einem
endlich hohen, rechteckigen Potenzialtopf und treffen Aussagen über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen. Sie nutzen das Modell zur Beschreibung eines Farbstoffmoleküls und
beschreiben dessen Absorptionsverhalten.
Wasserstoffatom quantenphysikalisch, Lehrplan PLUS Bayern: Die Schüler/-innen nutzen die Simulation, um den
Radialteil der Schrödingergleichung für ein Wasserstoffatom numerisch zu lösen. Sie ermitteln so die Eigenwerte und Eigenfunktionen im Wasserstoffatom und diskutieren die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen.